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無相位遠場數據反散射問題的唯一性與成像算法

2019-01-07 | 撰稿: | 瀏覽:

基于完備遠場數據的反散射問題在近35年有大量的研究(Colton-Kress, 2013)。然而,在許多實際應用問題中,遠場測量數據的相位很難甚至無法得到,因此,人們只能得到遠場測量數據的強度或模,也就是無相位遠場數據。對于此類反散射問題,由于散射體任意平移前后所對應的無相位遠場數據相同(稱為無相位遠場數據的平移不變性),因此,利用無相位遠場數據只能重構散射體的形狀而無法重構其位置。此外,即使利用多個入射方向或波數,這一問題仍然無法解決(Kress-Rundell, 1997)。

為了解決這一問題,張波研究員和張海文助理研究員于2017年提出了利用兩個平面波的疊加作為入射場(而不是通常的只用一個平面波作為入射場)的新思路,并證明了在多個波數情形下由兩個平面波的疊加作為入射場產生的無相位遠場數據不滿足平移不變性,并利用此結果,提出了一種基于多波數無相位遠場數據的逐次Newton迭代算法,可以同時重構散射體的位置和形狀(見論文[1])。這一工作開辟了解決無相位遠場數據反散射問題這一長期公開問題的新途徑。

2018年,基于我們2017年工作的新思路,我們進一步證明了在單波數情形下由無窮多組兩個平面波的疊加作為入射場產生的無相位遠場數據也不滿足平移不變性,并基于此提出了利用單波數無相位遠場數據快速重構散射體的一種快速、有效的直接成像法,該算法不需要知道散射體的物理性質(即邊界條件),也不需要計算正問題;大量的數值模擬驗證了該算法具有很強的抗噪音干擾性(見論文[2])。

上述工作說明了在新思路下研究無相位遠場數據反散射問題的唯一性成為可能。然而,由于在完備數據反散射問題唯一性等數學問題的研究中起決定作用的Rellich引理對于無相位遠場數據不再成立,因此,此類反散射問題的唯一性研究極其困難,迄今為止,還沒有任何這方面的結果。

2018年,在已知散射物體的性質(如聲軟、非吸收阻尼或非吸收非均勻介質)但不知道其位置和形狀的情形下,通過對遠場數據對應的遠場算子譜的性質的深入研究,我們和博士生徐小緒嚴格證明了在單波數情形下由無窮多組兩個平面波的疊加作為入射場產生的無相位遠場數據可以唯一確定散射物體的位置和形狀或非吸收非均勻介質。這是無相位遠場數據反散射問題的第一個唯一性結果(見論文[3])。進一步,我們通過在散射系統中引進一個已知的參考球,并借助于散射場的積分表示和Rellich引理成功地證明了上述唯一性結果在沒有關于散射物體的性質的先驗假設下仍然成立,從而徹底解決了聲波情形的無相位遠場數據反散射問題的唯一性這一長期公開問題(見論文[4])。

參考文獻:

[1] Bo Zhang & H Zhang, Recovering scattering obstacles by multi-frequency phaseless far-field data, Journal of Computational Physics 345 (2017), 58-73.

[2] B Zhang & H Zhang, Fast imaging of scattering obstacles from phaseless far-field measurements at a fixed frequency, Inverse Problems 34 (2018) 104005 (24pp).

[3] X Xu, Bo Zhang & H Zhang, Uniqueness in inverse scattering problems with phaseless far-field data at a fixed frequency, SIAM Journal on Applied Mathematics 78(3) (2018), 1737-1753.

[4] X Xu, Bo Zhang & H Zhang, Uniqueness in inverse scattering problems with phaseless far-field data at a fixed frequency. II, SIAM Journal on Applied Mathematics 78(6) (2018), 3024-3039.

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